Question

17．關于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0有兩個不等的實數(shù)根．
（1）求證：這個方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若4是這個方程的一個根，求k的值及方程的另一個根．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式即可得出△=（2k-3）²≥0，由此即可證出該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）將x=4代入原方程中找出關于k的一元一次方程，解方程求出k值，再將k值代入原方程中，利用因式分解法解方程即可求出方程的另外一根．

解答 （1）證明：在方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中，
∵△=[-（2k+1）]²-4×4（k-$\frac{1}{2}$）=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴這個方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：將x=4代入原方程中，得：16-4×（2k+1）+4（k-$\frac{1}{2}$）=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$，
將k=$\frac{5}{2}$代入原方程中，得：x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∴k的值為$\frac{5}{2}$，方程的另一個根為2．

點評 本題考查了根的判別式、解一元一次方程以及用因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）找出△=（2k-3）²≥0；（2）代入x=4求出k值．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的判別式的符號確定方程的實數(shù)根的個數(shù)是關鍵．