Question

12．已知：△ABC和△CDE均為等邊三角形，并且B、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)．
（1）如圖①，求證：△BCE≌△ACD；
（2）如圖②，連結(jié)CH，求證：CH平分∠BHD；
（3）在圖②中，試探究HD、HE、HC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（2）作CM⊥BE、CN⊥AD，由△BCE≌△ACD，可知AD=BE，由全等三角形性質(zhì)知CM=CN，據(jù)此得出CH平分∠BHD；
（3）在HD上截取DQ=EH，連接CQ，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，推理得出△CHQ為等邊三角形，進(jìn)而得到HQ=HC，最后根據(jù)HQ+DQ=HD，得到HC+HE=HD．

解答 （1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD （SAS）；

（2）證明：如圖②，作CM⊥BE，垂足為點(diǎn)M，作CN⊥AD，垂足為點(diǎn)N，
∵△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，且S_△BCE=S_△ACD，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴$\frac{1}{2}$×BE×CM=$\frac{1}{2}$×AD×CN，
∴CM=CN，
又∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴點(diǎn)C在∠BHD的平分線(xiàn)上，即CH平分∠BHD；

（3）HC+HE=HD．
證明：如圖，在HD上截取DQ=EH，連接CQ，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CDQ=∠CEH，
又∵CD=CE，
∴△CDQ≌△CEH（SAS），
∴∠DCQ=∠ECH，且CQ=CH，
又∵∠DCQ+∠ECQ=60°，
∴∠ECH+∠ECQ=60°，即∠HCQ=60°，
∴△CHQ為等邊三角形，
∴HQ=HC，
又∵HQ+DQ=HD，
∴HC+HE=HD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．