Question

3．已知：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，求證：$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{AB}$．

Answer 1

分析 延長AB至D，使BD=AC（此時，AD=AB+AC），又延長BC至E，使AE=AC，連接ED．設(shè)∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則∠A+∠B+∠C=7α=180°．得到BE=BD，△BDE是等腰三角形，相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長AB至D，使BD=AC（此時，AD=AB+AC），又延長BC至E，使AE=AC，連接ED．
下面證明，△ADE∽△ABC．
設(shè)∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，
則∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，
∴∠ACE=180°-4α=3α，
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
從而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．
又由作圖AE=AC，AE=BD，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BED=α=∠CAB，
∴△ABC∽△DAE，
即$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{AB}{BC}$
∴$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{AB}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)求解一些計算、證明問題．