Question

13．正方形ABCD中，點P在射線BE上，∠APM=90°，CM平分∠DCE．
（1）如圖1，當(dāng)P在BC上時，求證：∠MPC+∠E=45°；
（2）如圖2，當(dāng)P在BC的延長線上時，且BC=2PC，ME⊥BC的延長線于點E，探究四邊形ABEM的面積與△APM的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）在BA上截取BP=BN，連接PN．只要證明△APN≌△PMC，即可推出PA=PM，可得△PAM是等腰直角三角形，推出∠AMP=∠MPE+∠E=45°；
（2）結(jié)論：$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四邊形ABEM}}$=$\frac{13}{25}$．設(shè)PC=a，首先證明△APB≌△PME，分別求出△APM，四邊形ABEM的面積即可解決問題；

解答 （1）證明：在BA上截取BP=BN，連接PN．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠B=∠BCD=∠DCE=90°，
∵BN=BP，
∴AN=PC，∠BNP=45°，
∵CM平分∠DCE，
∴∠MCE=45°，
∴∠ANP=∠PCM=135°，
∵∠APM=90°，
∴∠APB+∠CPM=90°，
∵∠APB+∠BAO=90°，
∴∠PAN=∠CPM，
∴△APN≌△PMC，
∴PA=PM，
∴△PAM是等腰直角三角形，
∴∠AMP=∠MPE+∠E=45°，
即：∠MPC+∠E=45°；


（2）解：結(jié)論：$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四邊形ABEM}}$=$\frac{13}{25}$．
理由：如圖2中，

同法可證△APM是等腰直角三角形，
∴PA=PM，
∵∠APM=∠B=∠E=90°，
∴∠APB+∠MPE=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠PAB=∠MPE，
∴△APB≌△PME，設(shè)PC=a，則BC=2a，
在Rt△ABP中，PA²=（2a）²+（3a）²=13a²，
∴S_△PAM=$\frac{1}{2}$PA²=$\frac{13}{2}$a²，
S_{四邊形ABEM}=2•$\frac{1}{2}$•3a•2a+$\frac{13}{2}$a²=$\frac{25}{2}$a²，
∴$\frac{{S}_{△APM}}{{S}_{四邊形ABEM}}$=$\frac{\frac{13}{2}{a}^{2}}{\frac{25}{2}{a}^{2}}$=$\frac{13}{25}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．