Question

3．已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5，0），OB=4$\sqrt{5}$，點(diǎn)P是對角線OB上的一個動點(diǎn)，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （0，0）
• B． （1，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）

Answer 1

分析 如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先說明點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)，求出直線OB、DA，列方程組即可解決問題．

解答 解：如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四邊形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2$\sqrt{5}$，A、C關(guān)于直線OB對稱，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此時PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG=$\sqrt{O{A}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∵OA•BK=$\frac{1}{2}$•AC•OB，
∴BK=4，AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4），
∴直線OB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，直線AD解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{7}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置，構(gòu)建一次函數(shù)，列出方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．