Question

19．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=acm，動點P，Q分別從點B，點C開始沿著射線BC運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P追上點Q時兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）若a=2cm
①求兩點都停止運動時，△ABQ的面積．
②是否存在t，使得△APQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（2）若剛好存在某一時刻t，使得AP，AC三等分∠BAQ，則a的值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)“BP=BC+CQ”列出關(guān)于t的方程并解答即可；
②需要分類討論：以AP為腰和以AP為底兩種情況進行討論；
（2）當(dāng)AP，AC三等分∠BAQ時，AP平分∠BAC，結(jié)合角平分線定理來求a的值．

解答 解：（1）依題意得：2t-4=t，
解得t=4．
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$BQ•AC=$\frac{1}{2}$×8×2=8；

（2）①當(dāng)PA=PQ時，$\sqrt{（4-2t）^{2}+{2}^{2}}$=4-2t+t，
解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=2．
②當(dāng)AP=AQ時，4-2t=t，
解得t=$\frac{4}{3}$；
③當(dāng)AQ=QP時，$\sqrt{{t}^{2}+{2}^{2}}$=4-2t+t，
解得t=$\frac{3}{2}$．
綜上所述，符合條件的t的值為：$\frac{2}{3}$或2或$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{2}$．

（3）∵AP，AC三等分∠BAQ，
∴AP平分∠BAC，
∴$\frac{BP}{CP}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2×\frac{4}{3}}{4-2×\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{2}^{2}}}{a}$，
整理，得
a²+4=4a²，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．解答（2）題時，沒有明確指出等腰三角形的頂點，需要分類討論，以防漏解或錯解．