Question

將正方形ABCD分割為n²個相等的小方格，把相對的頂點A、C染成紅色，把B、D染成藍色，其他各點任意染成紅藍兩色中的一種顏色．證明：恰有三個頂點同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：若恰有三個頂點同色（三紅一藍或一紅三藍），則A_i=1或3為奇數(shù)，否則（4紅，二紅二藍，4藍）A_i為偶數(shù)．
在A₁+A₂+A₃+…+A_n²中，有如下事實：
（1）原正方形內(nèi)部的交點屬于4個小正方形，各加了4次；
（2）原正方形邊上非頂點的交點屬于2個小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四個頂點各加了1次（含2個0，2個1）．
∴A₁+A₂+A₃+…+A_n²
=4（內(nèi)部交點相應(yīng)的數(shù)字之和）+2（邊上非頂點的交點相應(yīng)的數(shù)字之和）+2，此和必為偶數(shù)．
解答：證明：用數(shù)代表顏色，將紅色記為0，藍色記為1，再將小方格編號記為1，2，3，n²，又記第i（i=1，2，3，n²）個小方格四個頂點數(shù)字之和為A．
若恰有三個頂點同色（三紅一藍或一紅三藍），則A_i=1或3為奇數(shù)，否則（4紅，二紅二藍，4藍）A_i為偶數(shù)．
在A₁+A₂+A₃+…+A_n²中，有如下事實：
（1）原正方形內(nèi)部的交點屬于4個小正方形，各加了4次；
（2）原正方形邊上非頂點的交點屬于2個小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四個頂點各加了1次（含2個0，2個1）．
∴A₁+A₂+A₃+…+A_n²
=4（內(nèi)部交點相應(yīng)的數(shù)字之和）+2（邊上非頂點的交點相應(yīng)的數(shù)字之和）+2，此和必為偶數(shù)．
于是，在A₁，A₂，A₃，A_n²中必定是偶數(shù)個奇數(shù)，
所以：恰有三個頂點同色的小方格的數(shù)目必有是偶數(shù)．
點評：這道推理題將染色問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來處理，簡明、清晰，效果突出．