Question

17．已知整式p=x²+x-1，Q=x²-x+1．R=-x²+x+1，若一個(gè)次數(shù)不高于二次的整式可以表示為aP+bQ+cR（其中a、b、c為常數(shù)）．則可以進(jìn)行如下分類(lèi)：
①若a≠0，b=c=0，則稱(chēng)該整式為P類(lèi)整式；
②若a≠0，b≠0，c=0，則稱(chēng)該整式為PQ類(lèi)整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0．則稱(chēng)該整式為PQR類(lèi)整式．
…
（1）模仿上面的分類(lèi)方式，請(qǐng)給出R類(lèi)整式和QR類(lèi)整式的定義．
若a=b=0，c≠0，則稱(chēng)該整式為“R類(lèi)整式”．
若a=0，b≠0，c≠0，則稱(chēng)該整式為“QR類(lèi)整式”．
（2）例如x²-5x+5則稱(chēng)該整式為“PQ類(lèi)整式”，因?yàn)?2P+3Q=-2（x²+x-1）+3（x²-x-1）
=-2x²-2x+2+3x²-3x+3=x²-5x+5．
即x²-5x+5=-2P+3Q，所以x²-5x+5是“PQ類(lèi)整式”
  問(wèn)題：x²+x+1是哪一類(lèi)整式？請(qǐng)通過(guò)列式計(jì)算說(shuō)明．
（3）試說(shuō)明4x²+11x+2015是“PQR類(lèi)整式”，并求出相應(yīng)的a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）類(lèi)比的出R類(lèi)整式和QR類(lèi)整式的定義即可；
（2）類(lèi)比方法拆開(kāi)表示得出答案即可；
（3）利用給出的PQR類(lèi)整式得意義待定得出a、b、c的數(shù)值即可．

解答 解：（1）若a=b=0，c≠0，則稱(chēng)該整式為“R類(lèi)整式”．
若a=0，b≠0，c≠0，則稱(chēng)該整式為“QR類(lèi)整式”．
（2）∵x²+x+1=（x²+x-1）+（x²-x+1）+（-x²+x+1），
∴該整式為PQR類(lèi)整式．
（3）∵4x²+11x+2015是“PQR類(lèi)整式”，
∴設(shè)4x²+11x+2015=a（x²+x-1）+b（x²-x+1）+c（-x²+x+1），
∴a+b-c=4，a-b+c=11，-a+b+c=2015，
解得：a=7.5，b=1009.5，c=1013．

點(diǎn)評(píng) 此題考查整式，理解題意，掌握給出的整式的特征，利用類(lèi)比的方法得出答案即可．