Question

5．如圖，已知線段AB=6，在平面上有一動點P恒滿足PA-PB=4，過點A作∠APB的角平分線的垂線，垂足為M，則△AMB的面積的最大值是6．

Answer 1

分析 延長AM、PB交于點C，過點M作MH⊥AB于H，取AB的中點N，連接MN，易證△APM≌△CPM，則有AM=CM，PA=PC，由PA-PB=4可得BC=2，根據(jù)三角形中位線定理可得MN=2，根據(jù)點到直線之間垂線段最短可得MH≤2，從而可求出△AMB的面積的最大值．

解答 解：延長AM、PB交于點C，過點M作MH⊥AB于H，取AB的中點N，連接MN，如圖．
∵PM平分∠APB，AM⊥PM，
∴∠APM=∠CPM，∠AMP=∠CMP=90°．
在△APM和△CPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠CPM}\\{PM=PM}\\{∠AMP=∠CMP}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CPM，
∴AM=CM，PA=PC．
∵PA-PB=4，
∴BC=PC-PB=PA-PB=4．
∵AM=CM，AN=BN，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵MH⊥AB，
∴MH≤2．
當(dāng)BC⊥AB時，MN與MH重合，此時，MH取得最大值2，
△AMB的面積也就取到最大值，最大值為6．
故答案為6．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、點到直線之間垂線段最短等知識，由角的一邊的點向角平分線作垂線段想到補全全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．