Question

10．如圖所示，A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）分別為x軸、y軸上的點(diǎn)，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P（3，a）在第一象限內(nèi)，且滿足2S_△ABP=S_△ABC，求a的值．

Answer 1

分析 過P點(diǎn)作PD⊥x軸，垂足為D，根據(jù)A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面積，利用S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP，列方程求a．

解答 解：過P點(diǎn)作PD⊥x軸，垂足為D．

由A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1），得OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵△ABC為等邊三角形，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
又∵S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+a）×3-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+3）×a
=$\frac{\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a}{2}$，
由2S_△ABP=S_△ABC，得$\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a$=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的關(guān)系，根據(jù)圖形間的面積關(guān)系列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．