Question

10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，且CD=4AC．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；
（2）求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為$\frac{5}{4}$，求a的值；
（4）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直線l：y=kx+b過A（-1，0），得到直線l：y=kx+k，解方程得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，求得k=a，得到直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a；
（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax²-3ax-4a，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；
（4）令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，得到D（4，5a），設(shè)P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，ax²-2ax-3a=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
對稱軸為直線x=$\frac{-1+3}{2}$=1；
（2）∵直線l：y=kx+b過A（-1，0），
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直線l：y=kx+k，
∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，
∴ax²-2ax-3a=kx+k，
即ax²-（2a+k）x-3a-k=0，
∵CD=4AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴-3-$\frac{k}{a}$=-1×4，
∴k=a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a；
（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax²-2ax-3a），
則F（x，ax+a），EF=ax²-2ax-3a-ax-a=ax²-3ax-4a，
∴S_△ACE=S_△AFE-S_△CEF=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）x=$\frac{1}{2}$（ax²-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴△ACE的面積的最大值=-$\frac{25}{8}$a，
∵△ACE的面積的最大值為$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{25}{8}$a=$\frac{5}{4}$，
解得a=-$\frac{2}{5}$；
（4）以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，
令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴D（4，5a），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
設(shè)P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一條邊，
則易得Q（-4，21a），
m=21a+5a=26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∴5²+（5a）²+3²+（26-5a）²=2²+（26a）²，
即a²=$\frac{1}{7}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）；
②若AD是矩形APDQ的對角線，
則易得Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP²+PD²=AD²，
∴（-1-1）²+（8a）²+（1-4）²+（8a-5a）²=5²+（5a）²，
即a²=$\frac{1}{4}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴P（1，-4），
綜上所述，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）或（1，-4）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．