Question

6．已知：如圖，在?BCDH中，G是DH的中點，連接CG，CG與BH的延長線交于點A，連接AD，E是AD的中點，連接EG并延長交BC于點F，求證：GF=2EG．

Answer 1

分析 直接利用三角形中位線定理得出EG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AH，進而得出△DGC≌△HGA（AAS），得出DC=AH，求出四邊形DGFC是平行四邊形，進而得出答案．

解答 證明：∵E是AD的中點，G是DH的中點，
∴EG是△DAH的平分線，
∴EG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AH，
∵四邊形BCDH是平行四邊形，
∴DC∥AB，DC=HB，
∴∠DCG=∠CAH，
在△DGC和△HGA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCG=∠HAG}\\{∠CGD=∠AGH}\\{DG=GH}\end{array}\right.$，
∴△DGC≌△HGA（AAS），
∴DC=AH，
∵DC∥FG，DG∥FC，
∴四邊形DGFC是平行四邊形，
∴DC=FG，
∴EG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$FG．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△DGC≌△HGA（AAS）是解題關(guān)鍵．