Question

11．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，P是邊AD上的一個(gè)動點(diǎn)，將△ABP沿著BP折疊，得到△′ABP．若射線BA′恰好經(jīng)過邊CD的中點(diǎn)E，則四邊形DPA′E的面積為$\frac{70}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=12，CD=AB=10，∠A=∠D=∠C=90°，由勾股定理求出BE，由折疊的性質(zhì)得出∠BAP′=∠A=90°，BA′=BA=10，PA′=PA，得出∠PA′E=90°，A′E=13-10=3，連接PE，設(shè)PA′=PA=x，則PD=12-x，由勾股定理得出方程，解方程求出PA′，得出PD，即可求出四邊形DPA′E的面積．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，CD=AB=10，∠A=∠D=∠C=90°，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE=5，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
由折疊的性質(zhì)得：∠BAP′=∠A=90°，BA′=BA=10，PA′=PA，
∴∠PA′E=90°，A′E=13-10=3，
連接PE，如圖所示：
設(shè)PA′=PA=x，則PD=12-x，
由勾股定理得：PE²=PA′²+A′E²=PD²+DE²，
即x²+3²=（12-x）²+5²，
解得：x=$\frac{20}{3}$，
∴PA′=$\frac{20}{3}$，PD=12-$\frac{20}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴四邊形DPA′E的面積=$\frac{1}{2}×3×\frac{20}{3}$+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{16}{3}$=$\frac{70}{3}$；
故答案為：$\frac{70}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，由勾股定理求出PA′、PD是解決問題的關(guān)鍵．