Question

8．如圖，正方形ABCD和正方形BEFC，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，從A至B移動(dòng)（不與A、B重合），DM⊥MN，交對(duì)角線BF于點(diǎn)N，探究DM和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 DM=MN，在AD上取AP=AM，連接DM，證明△DPM≌△MBN即可證明DM=MN．

解答 解：DM=MN，
在AD上取AP=AM，連接DM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴DP=MB，
∵DM⊥MN，∠A=90°，
∴∠ADM+∠AMD=∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∵AP=AM，
∴∠APM=45°，
∴∠DPM=135°，
∵BF是正方形CBEF的對(duì)角線，
∴∠CBF=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DPM=∠MBN，
在△DPM和△MBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠MBN}\\{DP=MB}\\{∠ADM=∠BMN}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△MBN，
∴DM=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．