Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線BC于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，DE=DB，以D為圓心，DC為半徑作⊙D
（1）求證：AB是⊙D的切線；
（2）求證：AC+CE=AB；
（3）若⊙D的半徑為1，∠BAC=45°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，求出DC=DF等于半徑，得出AB是⊙D的切線．
（2）先證明△CDE≌△DBF（HL），根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的EC=FB，得出AC+CE=AB．
（3）先求得∠ABC=45°，進(jìn)而求得∠FDB=45°，然后根據(jù)S_陰影=S_△DFB-S_扇形求得即可．

解答 （1）證明：過點(diǎn)D作DF⊥AB于F；
∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，
∴DC=DF
∴AB是⊙D的切線；

（2）證明：在RT△CDE和RT△DBF中；
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DF}\\{DE=DB}\end{array}\right.$
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴EC=FB．
∵AC=AF，
∴AC+EC=AF+FB，
即AC+CE=AB．

（3）解：在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
又∵∠DFB=90°，
∴∠FDB=45°，DF=FB=1，
∴S_陰影=S_△DFB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{45π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{4-π}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查的是切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；全等三角形的判斷，全等三角形的對應(yīng)邊相等；扇形面積的計(jì)算等．