Question

半徑為R的圓的外切正三角形和內接正六邊形的面積比為

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：外切正三角形的半徑、邊心距，邊的一半正好組成含30度角的直角三角形，內接正六邊形的半徑、邊心距、邊的一半也正好組成含30度角的直角三角形，再進行計算即可．

解答：解：∵正三角形的內切圓半徑為R，
∴外切正三角形的半徑為2R，外切正三角形的邊心距R，外切正三角形的邊的一半

3

R，
∴外切正三角形的邊長為2

3

R，
∴外切正三角形的面積=

1

2

•2

3

R•3R=3

3

R²，
∵圓內接正六邊形的邊長等于R，
∴邊心距=

3

2

R，邊的一半=

1

2

R，
∴圓內接正六邊形的面積=

1

2

•R•

3

2

R×6=

3 3

2

R²，
∴半徑為R的圓的外切正三角形和內接正六邊形的面積比為3

3

R²：

3 3

2

R²=2：1．
故答案為2：1．

點評：本題考查了正多邊形和圓，計算正三角形的邊長、半徑、面積，正六邊形的邊長、半徑面積是解題的關鍵．