Question

7．如圖，拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=-x²+bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△DMB和△BCE相似，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出EH、BH，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可；
（3）分$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$和$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$兩種情況，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+3=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
（2）由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C（0，3）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴點(diǎn)E（2，3），
過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，
∵OC=OB=3，
∴BC=$3\sqrt{2}$，
∵${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BC•EH=\frac{1}{2}CE•OC$，CE=2，
∴$3\sqrt{2}•EH=2×3$，
解得EH=$\sqrt{2}$，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=$\sqrt{2}$，
∴BH=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BEH中，$tan∠CBE=\frac{EH}{BH}=\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)
設(shè)M（1，m），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，則P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴$tan∠BDP=\frac{1}{2}$，
∵$tan∠CBE=\frac{1}{2}$，∠CBE、∠BDP均為銳角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB與△BEC相似，
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$或$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，
①$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$，
∵DM=4-m，$DB=2\sqrt{5}$，$BC=3\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{10}$
∴$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{{3\sqrt{2}}}$，
解得，$m=\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)M（1，$\frac{2}{3}$）
②$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，則$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}}}$，
解得m=-2，
∴點(diǎn)M（1，-2），
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，根據(jù)題意知點(diǎn)M不存在．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟、熟記相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．