Question

11．已知：如圖，正比例函數(shù)y=k₁x的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{k_2}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在第一象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，作AH垂直于x軸，垂足為點(diǎn)H，S_△AOH=1．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）如果△OAC是以O(shè)A為腰的等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)可得出OH的長(zhǎng)度，從而結(jié)合△AOH的面積可得出AH的長(zhǎng)度；從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，可得出兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）分兩種情況討論，①OA=OC，②OA=AC，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，AH⊥x軸，
∴OH=1，
∵S_△AOH=1，
∴$\frac{1}{2}$OH×AH=1，
解得：AH=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，2），
∵點(diǎn)A（1，2）在正比例函數(shù)y=k₁x的圖象上，
∴2=k₁•1，
解得：k₁=2．
∴所求的正比例函數(shù)的解析式為y=2x，
∵點(diǎn)A（1，2）在反比例函數(shù)$y=\frac{k_2}{x}$的圖象上，
∴2=$\frac{{k}_{2}}{1}$，
解得k₂=2．
∴所求的反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．

（2）由題意，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0）．
∵△OAC是以O(shè)A為腰的等腰三角形，
∴OA=OC或OA=AC，
①當(dāng)OA=OC時(shí)，a=±$\sqrt{5}$，
即可得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）．
②當(dāng)OA=AC時(shí)，a=2；a=0，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)O不重合，
∴a=0不合題意舍去，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）或（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第三問(wèn)，注意分類討論，不要漏解．