Question

14．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．（1）求證：△BED是等腰三角形：
（2）當(dāng)∠BCD=150°時(shí)，△BED是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，從而得到BE=DE．
（2）利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求得答案．

解答 證明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB，
∵△BED是等邊三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
故答案為：150．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB是解題關(guān)鍵．