Question

11．△ABC是邊長(zhǎng)為3等邊三角形，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在AC、BC邊上，連結(jié)AF、BE相交于點(diǎn)P，∠APE=60°．
（1）求證：△APE∽△ACF．
（2）若AE=1，求AP•AF的值．
（3）當(dāng)P點(diǎn)處于線段BE什么位置時(shí)，△APE的面積等于四邊形CFPE的面積？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等邊三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AP}{AC}$，代入數(shù)據(jù)得到AP•AF=3；
（3）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABP=∠EAP，由△ABC是等邊三角形，得到∠C=∠BAC=60°，AB=AC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S_△APC=S_△BEA，推出BP=EP，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∵∠APE=60°，
∴∠C=∠APE，
∵∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF；

（2）∵△APE∽△ACF，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AP}{AC}$，
∵AC=3，AE=1，
∴AP•AF=3；

（3）∵∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠BAP+EAP=60°，
∴∠ABP=∠EAP，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
在△AFC與△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEA，
∴S_△APC=S_△BEA，
∴S_△ABP=S_{四邊形CFPE}，
若S_△APE=S_{四邊形CFPE}，
則S_△ABP=S_△APE，
∴BP=EP，即P是BE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．