Question

2．如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，連接BE，過點C作CF⊥BE于點F，在BE上截取BG=CF，連接OF，OG．
（1）求證：△BOG≌△COF；
（2）若AB=6，DE=2CE，求OF的長度．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質和全等三角形的判定方法即可證明△OBG≌△OCF，
（2）由（1）可知△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，利用勾股定理可得BE的長，由射影定理得BF的長，易得EF的長，求得CF，進而在RT△BCE中，根據射影定理求得GF的長，即可求得OF的長．

解答 解：（1）
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS）；
（2）
∵△OBG≌△OCF，
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵BC²=BF•BE，
則6²=BF•2$\sqrt{10}$解得：BF=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在等腰直角△OGF中
OF²=$\frac{1}{2}$GF²，
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應用，題目的綜合性較強，難度中等，熟記各種特殊幾何圖形的性質是解題關鍵．