Question

如圖，圓O是銳角△ABC的外接圓，其半徑為R．BC=a，AC=b，AB=c．求證：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理

專題：

分析：分別連接AO、BO、CO并交圓O于點D、E、F，連接BD、AF、EC，根據(jù)圓周角定理可得：∠A=∠BEC，∠B=∠AFC，∠C=∠ADB，然后分別在△BEC、△AFC、△ABD中，求出sinA、sinB、sinC的值，繼而可求證．

解答：解：連接AO、BO、CO并交圓O于點D、E、F，連接BD、AF、EC，
由圓周角定理可得：∠A=∠BEC，∠B=∠AFC，∠C=∠ADB，
則在△BEC中，
sin∠BEC=

BC

BE

=

a

2R

，
∵∠A=∠BEC，
∴sinA=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理可證：sinB=sin∠AFC=

b

2R

，sinC=sin∠ADB=

c

2R

，
即

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．

點評：本題考查了正弦定理和余弦定理，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識進(jìn)行解答，難度適中．