Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+2，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）若該圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0）．
①求二次函數(shù)y=ax²+bx+2的表達(dá)式；
②出該二次函數(shù)的大致圖象，并借助函數(shù)圖象，求不等式ax²+bx+2≥0的解集；
（2）當(dāng)a取a₁，a₂時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)N（n，0）．如果點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊，且點(diǎn)M和點(diǎn)N都在點(diǎn)（1，0）的右邊．試比較a₁和a₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）①已知拋物線圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，且只有兩個(gè)待定系數(shù)，利用待定系數(shù)法求解即可；
②畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖形求出不等式ax²+bx+2≥0的解集；
（2）用a表示出函數(shù)的解析式，然后分別將M、N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，分別用m、n表示出a₁、a₂，通過做差可比較出a₁、a₂的大�。�

解答 解：（1）①∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（-1，0）
可得$\left\{\begin{array}{l}a+b+2=2\\ a-b+2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$，
即二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x²+x+2；
②如圖：由圖象得：不等式ax²+bx+2≥0的解集為：-1≤x≤2；

（2）∵二次函數(shù)與x軸正半軸交與點(diǎn)（m，0）且a=-b
∴${a_1}{m^2}-{a_1}m+2=0$，
即${a_1}=\frac{2}{{m-{m^2}}}$，
同理  ${a_2}{n^2}-{a_2}n+2=0$${a_2}=\frac{2}{{n-{n^2}}}$，
故${a_2}-{a_1}=\frac{2}{{n-{n^2}}}-\frac{2}{{m-{m^2}}}=\frac{2（m-n）（1-m-n）}{mn（1-m）（1-n）}$，
∵n＞m＞1，
故${a_2}-{a_1}=\frac{2（m-n）（1-m-n）}{mn（1-m）（1-n）}＞0$，
∴a₁＜a₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及不等式的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，難度適中．