Question

16．如圖1，平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，連CE，點M、N為CE上兩點，且BM∥DN，

（1）求證：△BCM∽∠DEN；
（2）如圖2，連DM并延長交AB于F，若BF=2AF，求$\frac{DM}{MF}$的值；
（3）在（2）的條件下，連BN，求S_△BFM：S_{四邊形BMDN}的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得出∠DEN=∠BCM，∠END=∠CMB，即可得出結(jié)論，
（2）先判斷出BM=2DN，再取BF、BM的中點H、Q，連接HQ、AQ，則HQ是三角形的中位線，所以MF=2QH，根據(jù)BF=2AF，得出AF=HF，得出PF是△AQH的中位線，得出QH=2PF，MF=2QH=4PF，PM=3PF，同理：求得DM=PM=3PF，即可求得$\frac{DM}{MF}$的值；
（3）連接BD，作BH⊥DN于H，先求得$\frac{{S}_{△BDM}}{{S}_{△BMF}}=\frac{3}{4}$，得出S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，進(jìn)而得出$\frac{{S}_{△BDN}}{{S}_{△BDM}}=\frac{\frac{1}{2}DN•BH}{\frac{1}{2}BM•BH}$=$\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，得出S_△BDM=2S_△BDN，從而得出S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，即可求得$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{四邊形BMDN}}$的值，

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DEN=∠BCM，
又∵BM∥DN，
∴∠END=∠CMB，
∴△EDN∽△CBM，

﹙2﹚∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$CB，
由（1）知，△EDN∽△CBM，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴BM=2DN；
如圖2，取BF、BM的中點H、Q，連接HQ、AQ，
∵BQ=MQ，BH=HF，
∴QH∥DF，
∴MF=2QH，
∵BF=2AF，
∴AF=HF，
∴PF是△AQH的中位線，
∴QH=2PF，
∴MF=2QH=4PF，
∴PM=3PF，
同理：EM是△ADP的中位線，
∴DM=PM=3PF，
∴$\frac{DM}{MF}=\frac{3PF}{4PF}=\frac{3}{4}$．

（3）如圖3，連接BD，作BH⊥DN于H，
∵BM∥DN，
∴BH⊥BM，
∵$\frac{DM}{MF}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△BDM}}{{S}_{△BMF}}=\frac{3}{4}$，
∴S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，
∵BM∥DN，
∴$\frac{{S}_{△BDN}}{{S}_{△BDM}}=\frac{\frac{1}{2}DN•BH}{\frac{1}{2}BM•BH}$=$\frac{DN}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴S_△BDM=2S_△BDN，
∴S_梯形BMDN=S_△BDN+S_△BDM=3S_△BDN，
∴S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM=$\frac{8}{3}$S_△BDN，
∴$\frac{{S}_{△BFM}}{{S}_{四邊形BMDN}}$=$\frac{\frac{8}{3}{S}_{△BDN}}{3{S}_{△BDN}}$=$\frac{8}{9}$．

點評 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，以及三角形的面積等，解（2）的關(guān)鍵是判斷出BM=2DN，解（3）的關(guān)鍵是S_△BMF=$\frac{4}{3}$S_△BDM，是一道中等難度的中考�？碱}．