Question

AB是圓O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE、BE是圓O的切線，點(diǎn)C、B是切點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)P，求證：PC=PD．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)A作⊙O的切線交EC的延長線于H，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得AH⊥AB，EB⊥AB，易得AH∥CD∥BE，利用平行線分線段成比例定理得到

AD

AB

=

HC

HE

，再證明△ECP∽△EHA得到PC=

EC•AH

EH

，證明△ADP∽△ABE，得到

PD

BE

=

AD

AB

，代換后得

PD

BE

=

HC

HE

，則PD=

BE•HC

EH

，然后根據(jù)切線長定理得到HA=HC，EC=EB，所以PC=PD．

解答：證明：過點(diǎn)A作⊙O的切線交EC的延長線于H，如圖，
∵AH、BE為⊙O的切線，
∴AH⊥AB，EB⊥AB，
而CD⊥AB，
∴AH∥CD∥BE，
∴

AD

AB

=

HC

HE

，
∵PC∥AH，
∴△ECP∽△EHA，
∴

PC

AH

=

EC

EH

，即PC=

EC•AH

EH

，
∵PD∥BE，
∴△ADP∽△ABE，
∴

PD

BE

=

AD

AB

，
∴

PD

BE

=

HC

HE

，即PD=

BE•HC

EH

，
∵EH、EB、HA為⊙O的切線，
∴HA=HC，EC=EB，
∴PC=PD．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．