Question

19．如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，且∠CDB=∠OBD=30°，⊙O的半徑為6cm．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由弦CD、BD與弧B超所圍成的陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接CO，由角的等量關系可以證得∠ACO=90°，即能證得切線存在，
（2）首先證明△CDE≌△OBE，陰影部分面積等于S_扇形OBC．

解答 （1）證明：連接CO．
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=90°．
∴AC為⊙O切線．

（2）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE．
∴S陰=S扇OBC=$\frac{60π•{6}^{2}}{360}$=6π（cm²），
答：陰影部分的面積為6πcm²．

點評 本題考查了切線的判定，扇形面積的計算和解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．