Question

19．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連接BF交AC于點M，連接DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S_△AOE：S_{四邊形DGOF}=2：7．其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論；
②在△EOB和△CMB中，對應直角邊不相等，則兩三角形不全等；
③可證明∠CDE=∠DFE；
④設S_△EGO=x，則S_△AOE=2x，S_△BOF=4x，可通過面積轉化進行解答．

解答 解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正確；

②∵△BOC為等邊三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，BF=BF，
∴△BCF≌△BOF，
∴∠BOF=∠BCF=90°，
∴BO⊥EF，
∵BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB與△CMB不全等；
故②錯誤；

③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠1=30°，∠BEO=60°
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正確；

④易知△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵S_△COF=2S_△CMF，
∵∠FCO=30°，
∴FM=$\frac{CM}{\sqrt{3}}$，BM=$\sqrt{3}$CM，
∴$\frac{FM}{BM}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△FOM：S_△BOF=1：4，
易證△GEO≌△MFO，
∴S_△GEO=S_△MFO，
易證明四邊形DEBF是平行四邊形，
∴S_△DEF=S_△EFB=2S△BOF，
設S_△EGO=x，則S_△AOE=2x，S_△BOF=4x，
S_{四邊形DGOF}=S_△DEF-S_△EGO=S_△EFB-S_△EGO=8x-x，
∴S_△AOE：S_{四邊形DGOF}=2x：（8x-x）=2：7，
故④正確；
所以其中正確結論的個數(shù)為3個；
故選B．

點評 本題綜合性比較強，既考查了矩形的性質、等腰三角形的性質，又考查了全等三角形的性質和判定，及線段垂直平分線的性質，內容雖多，但不復雜；看似一個選擇題，其實相當于四個證明題，屬于常考題型．