Question

5．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，且BC=1，若把△ABC放入如圖的直角坐標(biāo)系中，使斜邊AB在x軸，點(diǎn)C在雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上．
（1）求△ABC斜邊AB上的高CD；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求△ABC的邊長(zhǎng)AC和AB的長(zhǎng)，根據(jù)面積法求高CD的長(zhǎng)；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限的反比例圖象上時(shí)，如圖1，由高得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求得橫坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限的反比例圖象上時(shí)，如圖2，同理可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)兩個(gè)圖形分別求出D的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)兩個(gè)圖形分別求出A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AB=2BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
$\sqrt{3}$×1=2CD，
CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)C在第一象限的反比例圖象上時(shí)，如圖1，
∵CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，x=2，
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限的反比例圖象上時(shí)，如圖2，
此時(shí)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入到y(tǒng)=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，x=-2，
∴C（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）如圖1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）
如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）；
（4）cos30°=$\frac{AD}{AC}$，
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴OA=OD-AD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），
如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0），
綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0）或（-$\frac{1}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，本題還利用了面積法求直角三角形斜邊上的高，這一方法在數(shù)學(xué)上應(yīng)用比較廣泛，要熟練掌握；本題采用了分類討論的思想，因?yàn)橐阎�中沒(méi)有說(shuō)明直角三角形放置的位置，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．