Question

13．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC中點(diǎn)，F(xiàn)G過點(diǎn)E分別交AB、AC于F、G
（1）如圖1，AB=4BF，直接寫出結(jié)果CG：AG=1：5；
（2）如圖2，DF、DG分別交BC于M、N，求證：BM=CN；
（3）如圖3，AB=4，F(xiàn)G⊥AC直接寫出結(jié)果S_△CNG=$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 （1）延長FG交CD于M，根據(jù)△BFE∽△CME，得到$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BE}{CE}$，再根據(jù)△CMG∽△AFG，即可得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{AF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$；
（2）延長FG交CD于H，根據(jù)AB∥CD，CH=BF，可得$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，再根據(jù)AD∥BM，AD∥CN，即可得出$\frac{BM}{AD}$=$\frac{CN}{AD}$，進(jìn)而得到BM=CN；
（3）先根據(jù)△AFG、△BEF都是等腰直角三角形，得出BE=BF=$\frac{1}{2}$BC=2，AF=4+2=6，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=3$\sqrt{2}$，再根據(jù)$\frac{CN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，可得CN=$\frac{4}{3}$，最后作GK⊥BC于K，則△CGK為等腰直角三角形，根據(jù)GK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=1，即可得出S_△CNG=$\frac{1}{2}$CN×GK=$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）CG：AG=1：5．
理由：如圖1，延長FG交CD于M，
∵AB=4BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$，
∵BF∥CM，
∴△BFE∽△CME，
∴$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BE}{CE}$，
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BF=CM，
∵AF∥CM，
∴△CMG∽△AFG，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{AF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$，
故答案為：$\frac{1}{5}$；

（2）證明：如圖2，延長FG交CD于H，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CH}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，
由（1）可得，CH=BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵AD∥BM，AD∥CN，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BM}{AD}$，$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CN}{AD}$，
∴$\frac{BM}{AD}$=$\frac{CN}{AD}$，
∴BM=CN；

（3）S_△CNG=$\frac{2}{3}$．
理由：∵FG⊥AC，∠FAG=45°，
∴∠AFG=45°=∠BEF，
∴△AFG、△BEF都是等腰直角三角形，
∴BE=BF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AF=4+2=6，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=3$\sqrt{2}$，
又∵AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴CG=AC-AG=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CN}{4}$=$\frac{1}{3}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$，
如圖3，作GK⊥BC于K，則△CGK為等腰直角三角形，
∴GK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∴S_△CNG=$\frac{1}{2}$CN×GK=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及等腰直角三角形，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．