Question

18．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，現(xiàn)有一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，當(dāng)直角三角板繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩條直角邊OP、OQ分別保持與邊AB、邊BC相交于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF，下列結(jié)論：①EF=OB，②EF=$\sqrt{2}$OF；③當(dāng)EF∥AC時(shí)，△BEF的周長最��；④當(dāng)BE變化時(shí)，四邊形OEBF的面積也隨之變化．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，可得△BOE≌△COF，進(jìn)而可得△EOF是等腰直角三角形，S_△BOE=S_△COF，進(jìn)而得出四邊形OEBF的面積=S_△BOE+S_△BOF=S_△COF+S_△BOF=S_△BOC（是定值），據(jù)此可得正確的結(jié)論．

解答 解：①EF=OB不一定成立，
當(dāng)OE⊥AB，OF⊥BC時(shí)，四邊形OEBF是正方形，
此時(shí)EF=OB，
而OE⊥AB，OF⊥BC不一定成立，
故①錯誤；

②根據(jù)正方形ABCD，可得∠BOC=∠EOF=90°，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$OF，
故②正確；

③由②可得，△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BE=BC（定值），
∴當(dāng)EF最短時(shí)，△BEF的周長最小，
此時(shí)OE、OF最短，即OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴EF∥AC，
故③正確；

④當(dāng)BE變化時(shí)，四邊形OEBF的面積不變，
由②可得，△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF，
∴四邊形OEBF的面積=S_△BOE+S_△BOF=S_△COF+S_△BOF=S_△BOC（定值），
故④錯誤．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意：全等三角形的面積相等．