Question

15．定義：如果一條直線能夠?qū)⒁粋�(gè)封閉圖形的周長(zhǎng)和面積平分，那么就把這條直線稱作這個(gè)封閉圖形的等分線．
（1）請(qǐng)?jiān)谌缦碌娜齻�(gè)圖形中，分別畫出各圖形的一條等分線．

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫一條直線l，使它即是矩形的等分線，也是圓的等分線．

（3）如圖，在 Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，問是否存在過點(diǎn)P的等分線？若存在，求出AP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓中過圓心畫一條直線，平行四邊形中過對(duì)稱中心畫一條直線，等腰三角形中作底邊的垂直平分線即可；
（2）過矩形對(duì)角線交點(diǎn)和圓心畫一條直線即可；
（3）設(shè)AP=x，PQ為二分線，則Q在BC邊上，BP=3-x，CQ=6-4-x=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，利用相似三角形的性質(zhì)得出QE=$\frac{4}{5}（x+3）$，再根據(jù)S_△PBQ=3，得到$\frac{1}{2}$（3-x）•$\frac{4}{5}（x+3）$=3，進(jìn)而得到x的值．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）如圖所示：


（3）存在過點(diǎn)P的等分線，

理由：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為12，面積為6，
設(shè)AP=x，PQ為二分線，則Q在BC邊上，BP=3-x，CQ=6-4-x=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，
過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，則QE=$\frac{4}{5}（x+3）$，
∵S_△PBQ=3，
∴$\frac{1}{2}$（3-x）•$\frac{4}{5}（x+3）$=3，
∴x=$\frac{1}{2}\sqrt{6}$．
∴AP=$\frac{1}{2}\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題，主要考查了中心對(duì)稱圖形以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，根據(jù)圓、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形以及等腰三角形是軸對(duì)稱圖形進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵．