Question

2．如圖，△ABC中，∠BCA=90°，CD是邊AB上的中線，分別過點(diǎn)C，D作BA，BC的平行線交于點(diǎn)E，且DE交AC于點(diǎn)O，連接AE．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若AB=10，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，求菱形ADCE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE∥BC，EC∥AB，得出EC∥DB且EC=DB，在Rt△ABC中，根據(jù)CD是邊AB上的中線，得出四邊形ADCE是平行四邊形，求出∠AOD=∠ACB=90°，從而得出四邊形ADCE是菱形；
（2）在Rt△ABC中，根據(jù)tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)BC=x，得出AC=2BC=2x，再根據(jù)勾股定理求出x的值，因?yàn)樗倪呅蜠BCE是平行四邊形，求出DE=BC=2$\sqrt{5}$，最后根據(jù)S_ADCE=$\frac{1}{2}$×AC×DE，代值計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四邊形DBCE是平行四邊形，
∴EC∥DB，且EC=DB，
在Rt△ABC中，CD是邊AB上的中線，
∴AD=DB=CD，
∴EC=AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴ED∥BC，
∴∠AOD=∠ACB，
∴∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°，
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BC=x，
∴AC=2BC=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∵四邊形DBCE是平行四邊形，
∴DE=BC=2$\sqrt{5}$，
∴S_ADCE=$\frac{1}{2}$×AC×DE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定以及面積的計(jì)算，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用菱形知識解決有關(guān)問題．