Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，延長OB至P，使BP=OB，點(diǎn)C為圓上除A、B外的任一點(diǎn)．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．則tanα•tan$\frac{β}{2}$的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)B作BD⊥BC，垂足為B，交CP于點(diǎn)D，連接AC，易證得BD∥AC，證得△PBD∽△PAC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BD：AC的值，又由tan$\frac{1}{2}$β=$\frac{BC}{AC}$，tanα=$\frac{BD}{BC}$，即可求得答案．

解答 解：過點(diǎn)B作BD⊥BC，垂足為B，交CP于點(diǎn)D，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC∥BD，
∴△PBD∽△PAC，
∴BD：AC=PB：PA，
∵BP=OB，OA=OB，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{3}$；
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠POC=$\frac{1}{2}$β，
∴tan$\frac{1}{2}$β=$\frac{BC}{AC}$，
∵tanα=$\frac{BD}{BC}$，
∴tanα•tan$\frac{β}{2}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．