Question

18．等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，一邊長為12，則等腰三角形的面積為$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①一邊長腰為12，根據(jù)等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，以及等腰三角形的性質(zhì)得到底和高，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；②一邊長底為12，根據(jù)等腰三角形△ABC底角的余弦值是$\frac{3}{4}$，以及等腰三角形的性質(zhì)得到高，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 解：①如圖1：

一邊長腰AB為12，在△ABC中，底角∠B的余弦值是$\frac{3}{4}$，
則BD=12×$\frac{3}{4}$=9，AD=$\sqrt{1{2}^{2}-{9}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
則BC=2BD=18，
則等腰三角形的面積為18×3$\sqrt{7}$÷2=$27\sqrt{7}$；
②如圖2：

一邊長底BC為12，
則BD=6，
在△ABC中，底角∠B的余弦值是$\frac{3}{4}$，
則AD=6÷$\frac{3}{4}$=8，AD=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
則等腰三角形的面積為12×2$\sqrt{7}$÷2=$12\sqrt{7}$．
故等腰三角形的面積為$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．
故答案為：$27\sqrt{7}$或$12\sqrt{7}$．

點評 本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是注意作底邊上的高，并且利用勾股定理，要考慮兩種情況．