Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）用尺規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：BC與⊙O相切；
（3）當(dāng)AD=$\sqrt{3}$，∠CAD=30°時(shí)，求劣弧AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作AD的垂直平分線交AC于O，以AO為半徑畫圓O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，則⊙O即為所求；
（2）連結(jié)OD，得到OD=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD=∠ODA，等量代換得到∠ODA=∠CAD，根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接DE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AOD=120°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AE=2，根據(jù)弧長(zhǎng)個(gè)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，


（2）證明：連結(jié)OD，則OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC⊥OD，
∴BC與⊙O相切；

（3）如圖，連接DE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
在Rt△ADE中，AE=$\frac{AD}{cos∠EAD}$=2，
∴⊙O的半徑=1，
∴劣弧AD的長(zhǎng)=$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形，弧長(zhǎng)的計(jì)算，平行線的判定，基本作圖，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．