Question

如圖，已知正方形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，將一個直角三角板EOF的直角頂點O與圓心O重合，將Rt∠EOF繞點O旋轉(zhuǎn)，OE、OF分別與⊙O相交于點M、N，分別與正方形ABCD的邊相交于點G、H．設OM、ON、弧MN及正方形ABCD的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S．
（1）當OE經(jīng)過點A時（如圖1），請計算陰影部分面積S，要求寫出計算過程；
（2）當OE⊥AB時（如圖2），點G為垂足，請計算陰影部分面積S，要求寫出計算過程；
（3）當∠EOF旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖3），則面積S是否會發(fā)生變化？（填“變”或“不變”，不要求說明理由）

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式和S=S_扇形OMN-S_△OAB進行計算；
（2）先判斷四邊形OGBH為矩形，再根據(jù)在同圓或等圓中相等的弦所應的弦心距相等得OG=OH，則可判斷四邊形OGBH為正方形，所以OG=

2

2

OB=

2

，然后利用S=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}進行計算；
（3）作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，如圖3，先根據(jù)等角的余角相等得到∠POG=∠HOQ，則可根據(jù)“AAS”判斷△OPG≌△OQH，則S_{四邊形OGBH}=S_{正方形OPBQ}，
然后利用（2）的結(jié)論易得S=π-2．

解答：解：（1）S=S_扇形OMN-S_△OAB
=

90•π•22

360

-

1

2

×2×2
=π-2；
（2）∵OE⊥AB，
∴四邊形OGBH為矩形，
∴OH⊥BC，
∵AB=BC，
∴OG=OH，
∴四邊形OGBH為正方形，
∴OG=

2

2

OB=

2

，
∴S=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}
=

90•π•22

360

-（

2

）²
=π-2；
（3）面積S不發(fā)生變化．理由如下：
作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，如圖3，
由（2）可得四邊形OPBQ為正方形，則OQ=OP，
∵∠FOE=90°，即∠HOQ+∠GOQ=90°，
∠POG+∠GOQ=90°，
∴∠POG=∠HOQ，
在△OPG和△OQH中

∠POG=∠QOH ∠OPG=∠OQH OP=OQ

，
∴△OPG≌△OQH，
∴S_{四邊形OGBH}=S_{正方形OPBQ}，
∴S=S_扇形OMN-S_{四邊形OGBH}
=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}
=π-2．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和弦、弧、圓心角的關(guān)系以及扇形的面積公式；會運用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．