Question

如圖，雙曲線與直線交于點(diǎn)A（-1，5），B（-5，1），BC⊥于x軸于C，AD⊥y軸于D．問，在AB上是否存在E，使△ADE與△BCE面積相等？

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+6．再設(shè)在AB上存在E（x，x+6），使△ADE與△BCE面積相等，然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB之間時，-5＜x＜-1；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB延長線時，x＜-5；③當(dāng)點(diǎn)E在線段BA延長線時，x＞-1．每一種情況都根據(jù)△ADE與△BCE面積相等列出方程，解方程即可．

解答：解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（-1，5），B（-5，1）代入，
得

-k+b=5 -5k+b=1

，
解得

k=1 b=6

．
所以直線AB的解析式為y=x+6．
假設(shè)在AB上存在E（x，x+6），使△ADE與△BCE面積相等，
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB之間時，-5＜x＜-1．

1

2

×1×（5-x-6）=

1

2

×1×（x+5），
解得x=-3，符合題意，
當(dāng)x=-3時，x+6=3，即E（-3，3）；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB延長線時，x＜-5．

1

2

×1×（5-x-6）=

1

2

×1×（-5-x），
x無解；
③當(dāng)點(diǎn)E在線段BA延長線時，x＞-1．

1

2

×1×（x+6-5）=

1

2

×1×（x+5），
x無解；
綜上可知，在AB上存在E（-3，3），使△ADE與△BCE面積相等．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角形的面積，難度適中．設(shè)E（x，x+6），用含x的代數(shù)式正確表示△ADE與△BCE的面積是解題的關(guān)鍵．