Question

9．已知關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，求出方程的另一個(gè)根．

Answer 1

分析 （1）要證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明△＞0即可．△=[-（m+2）]²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，因?yàn)椋╩-2）²≥0，可以得到△＞0；
（2）將x=1代入方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0，求出m的值，進(jìn)而得出方程的解．

解答 （1）證明：∵△=[-（m+2）]²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
∴△＞0．
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵方程的一個(gè)根是1，
∴1²-（m+2）+2m-1=0，
解得：m=2，
∴原方程為：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
故方程的另一個(gè)根是3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了一元二次方程的解的定義．