Question

8．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8 cm，直線CM⊥BC，動點(diǎn)D從點(diǎn)C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運(yùn)動，動點(diǎn)E也同時從點(diǎn)C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運(yùn)動，連結(jié)AD、AE，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為多少時，△ABD的面積為10 cm²？
（3）直接寫出：當(dāng)t=$\frac{8}{3}$或8秒時，△ABD≌△ACE．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據(jù)面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；
（3）假設(shè)△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數(shù)式表示CE和BD，得到關(guān)于t的方程，從而求出t的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$cm；

（2）過A作AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則AF=$\frac{1}{2}$BC=4cm，

∵S_△ABD=10cm²
∴AF×BD=20，
∴BD=5cm．
若D在B點(diǎn)右側(cè)，則CD=3cm，t=1.5s；
若D在B點(diǎn)左側(cè)，則CD=13cm，t=6.5s．

（3）動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM方向運(yùn)動$\frac{8}{3}$秒或當(dāng)動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM的反向延長線方向運(yùn)動8秒時，△ABD≌△ACE．
理由如下：（說理過程簡要說明即可）
①當(dāng)E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
證明：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE=45°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②當(dāng)E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
證明：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE=135°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM方向運(yùn)動$\frac{8}{3}$秒或當(dāng)動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM的反向延長線方向運(yùn)動8秒時，△ABD≌△ACE．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程，把問題掌握方程解決，屬于中考壓軸題．