Question

15．解方程組：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy+3x+y+3=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+x+y=0}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）將第一個方程分解因式得：（x+1）（y+3）=0，可得x=-1或y=-3，再分別代入第二個方程中，解出即可；
（2）將第一個方程分解因式得：（x+y）（x-y+1）=0，得到兩個一次方程，分別和第二個方程組成新的方程組，解出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy+3x+y+3=0①}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12②}\end{array}\right.$，
由①得：x（y+3）+（y+3）=0，
（x+1）（y+3）=0，
x=-1或y=-3．
當(dāng)x=-1時，3+4y²=12，
4y²=9，y=±$\frac{3}{2}$；
當(dāng)y=-3時，3x²+36=12，
3x²=-24，
此方程無實數(shù)解，
故原方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}+x+y=0}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．
由①得：（x+y）（x-y）+（x+y）=0，
（x+y）（x-y+1）=0，
x+y=0或x-y+1=0，
∴可以化為以下兩個方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0①}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2②}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0③}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2④}\end{array}\right.$，
由①和②組成的方程組無解，
解由③和④組成的方程組的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故原方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了高次方程組的解法，有難度，此類題都是從一個方程入手，利用將方程變形后分解因式，達到降次的目的，從而解決問題．