Question

4．如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓，劣弧為BC上的一點(diǎn)．
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）求證：PA=PB+PC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可得答案；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定，可得△PCD的形狀，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BD與AP的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答 （1）解：∵四邊形ABPC內(nèi)接于圓，
∴∠BAC+∠BPC=180．
∵等邊三角形ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BPC=120°； 
（2）證明：延長(zhǎng)BP到D，使得DP=PC，連接CD．
∵∠BPC=120，
∴∠CPD=60．
又∵PC=PD，
∴△PCD是等邊三角形，
∴PC=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACM+∠MCP=PCD+∠MCP，
即∠ACP=∠BCD．
∵等邊三角形ABC中，
∴BC=AC．
∵$\widehat{PC}$所對(duì)的圓周角是∠DBC與∠PAC，
∴∠DBC=∠PAC．
在△DBC和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠PAC}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△PAC（ASA），
∴AP=BD．
∵BD=BP+DP，
∴AP=BP+DP，
∵DP=PC，
∴PA=PB+PC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出∠ACM+∠MCP=PCD+∠MCP是解題關(guān)鍵．