Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 Rt△ABC中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AB=2$\sqrt{3}$，然后由翻折的性質(zhì)可求得∠AEF=60°，從而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性質(zhì)可知：BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最后在Rt△BED中利用特殊銳角三角函數(shù)值即可求得BD的長(zhǎng)．當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠AEF=90°，然后依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到ED=AE，然后再證明△BED∽△BAC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=$\frac{BC}{cosB}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠B=30°，DE⊥BC，
∴∠BED=60°．
由翻折的性質(zhì)可知：∠BED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°．
∵△AEF為直角三角形，
∴∠EAF=30°．
∴AE=2EF．
由翻折的性質(zhì)可知：BE=EF，
∴AB=3BE．
∴EB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
BD=EB•cosB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)．
∵△AEF為直角三角形，
∴∠EAF=90°，
∴∠EFA=30°．
∴∠EFD=∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE=DE．
∵BC=3，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
設(shè)DE=x，BE=2$\sqrt{3}$-x．
∵DE∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$，
解得，x═$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
BD=$\frac{DE}{tanB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=2，
∴BD的長(zhǎng)為1或2時(shí)，△AEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)和特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，掌握翻折的性質(zhì)和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．