Question

11．小明寫(xiě)出如下一組數(shù)：$\frac{1}{5}$，-$\frac{3}{9}$，$\frac{7}{17}$，-$\frac{15}{33}$，…，請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想第2014個(gè)數(shù)為-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

Answer 1

分析 首先判斷出每個(gè)數(shù)的正負(fù)，然后根據(jù)每個(gè)數(shù)的分子分別是1、3、7、15、…，判斷出第n個(gè)數(shù)的分子是多少；最后根據(jù)每個(gè)數(shù)的分母分別是5、9、17、33、…，判斷出第n個(gè)數(shù)的分母是多少，進(jìn)而判斷出這組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是多少，再把n=2014代入，求出第2014個(gè)數(shù)為多少即可．

解答 解：∵這組數(shù)分別是正數(shù)、負(fù)數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、…，
∴這組數(shù)的第n個(gè)數(shù)的正負(fù)即（-1）ⁿ⁺¹的正負(fù)；
∵1=2¹-1，3=2²-1，7=2³-1，15=2⁴-1，
∴第n個(gè)數(shù)的分子是：2ⁿ-1；
∵5=4×（2^1-1-1）+5，9=4×（2^2-1-1）+5，17=4×（2^3-1-1）+5，33=4×（2^4-1-1）+5，
∴第n個(gè)數(shù)的分母是：4×（2^n-1-1）+5=2ⁿ⁺¹+1；
∴這組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是：
（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴第2014個(gè)數(shù)為：
（-1）²⁰¹⁴⁺¹•$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$=-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

故答案為：-$\frac{{2}^{2014}-1}{{2}^{2015}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是求出這組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是多少．