Question

19．如圖，在半徑為R的⊙O中，$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長(zhǎng)度的差為（用含有R的代數(shù)式表示）．（　�。�

• A． R
• B． $\frac{1}{2}R$
• C． 2R
• D． 3R

Answer 1

分析 如解答圖，作輔助線，構(gòu)造三個(gè)等腰三角形△OAB，△OCD與△OCE；證明△COE≌△OAB，則有OE=AB；利用等腰三角形性質(zhì)證明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．

解答 解：如圖，

連接OA、OB，則△OAB為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°；
連接OC、OD，則△OCD為等腰三角形，頂角為108°，底角為36°．
在CD上取一點(diǎn)E，使得CE=OC，連接OE，則△OCE為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°．
在△COE與△OAB中，
$\left\{\begin{array}{l}CO=OA=R\\∠OCE=∠AOB=36°\\ CE=OB=R\end{array}\right.$，
∴△COE≌△OAB（SAS），
∴OE=AB．
∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE，
∴DE=OE，
∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、全等三角形、等腰三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形．