Question

15．已知，如圖1在銳角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，BE與AD交于點F．
（1）若BF=5，DC=3，求AB的長；
（2）在圖1上過點F作BE的垂線，過點A作AB的垂線，鏈條垂線交于點G，連接BG，得如圖2．
①求證：∠BGF=45°；
②求證：AB=AG+$\sqrt{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，由△BDF≌△ADC，可得DF=DC=3，在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4，可得AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$；
（2）（2）①由△AOG≌△FOB，推出$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OA}{OF}$，推出$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OB}{OF}$，又∠BOG=∠AOF，推出△BOG∽△FOA，可得∠BGO=∠OAF=45°；
②如圖2中，在AB上截取AM=AG，則∠MGA=∠BGF=45°，推出∠BCM=∠FCA，由BC=$\sqrt{2}$FG，GM=$\sqrt{2}$AC，可得$\frac{BG}{GF}$=$\frac{GM}{GA}$=$\sqrt{2}$，推出△BGM∽△FGA，可得$\frac{BM}{AF}$=$\frac{BG}{GF}$=$\sqrt{2}$，推出BM=$\sqrt{2}$AF，由此即可解決問題；

解答 （1）解：如圖1中，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BDF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC=3，
在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$．

（2）①證明：如圖2中，設(shè)AB交GF于O．

∵∠GAO=∠OFB=90°，∠AOG=∠BOF，
∴△AOG≌△FOB，
∴$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OA}{OF}$，
∴$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OB}{OF}$，∵∠BOG=∠AOF，
∴△BOG∽△FOA，
∴∠BGO=∠OAF=45°，
∴∠BGF=45°．

②證明：如圖2中，在AB上截取AM=AG，則∠MGA=∠BGF=45°，
∴∠BCM=∠FCA，
∵BC=$\sqrt{2}$FG，GM=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{BG}{GF}$=$\frac{GM}{GA}$=$\sqrt{2}$，
∴△BGM∽△FGA，
∴$\frac{BM}{AF}$=$\frac{BG}{GF}$=$\sqrt{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$AF，
∴AB=AM+BM=AG+$\sqrt{2}$AF．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．