Question

13．如圖所示，x軸所在直線是一條東西走向的河，A（-2，3）、B（4，5）兩個(gè)村莊位于河的北岸，現(xiàn)準(zhǔn)備在河上修建一凈水站P，并利用管道為兩個(gè)村莊供水（單位：千米）．
（1）欲使所修管道最短，應(yīng)該把凈水站P修在什么位置，作出正確圖形（用尺規(guī)作圖），求出P點(diǎn)坐標(biāo)及PB所在直線解析式；
（2）若管道每米費(fèi)用需要200元，求修管道的最低費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于P，則點(diǎn)P即為所求；根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A′（-2，-3），根據(jù)待定系數(shù)法即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意A′B即為所修管道的長(zhǎng)，分別過A′，B作平行于x軸和y軸的直線交于點(diǎn)B′，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于P，則點(diǎn)P即為所求；
∵A（-2，3），
∴A′（-2，-3），
設(shè)直線PB的解析式為：y=kx+b，∵直線PB過A′（-2，-3），B（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=-3}\\{4k+b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線PB的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{1}{3}$，

（2）根據(jù)題意A′B即為所修管道的長(zhǎng)，分別過A′，B作平行于x軸和y軸的直線交于點(diǎn)B′，
在直角三角形A′B′B中，A′B′=6，B′B=8，
∴A′B=10，
∴修管道的最低費(fèi)用=200×10×100=2×10⁶元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短距離問題，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式的方法求解．兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．