Question

15．如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象（拋物線）與x軸交于A（1，0），且當(dāng)x=0和x=-2時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，在這條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△DAC的周長(zhǎng)最��？如果存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)M在第二象限，且在拋物線上，如果△MBC的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及△MBC的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），然后利用交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（2）連結(jié)BC交直線x=-1于點(diǎn)D，則DB=DA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)DA+DC最小，△ADC的周長(zhǎng)最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后計(jì)算自變量為-1所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作MN∥y軸交BC于N，如圖，設(shè)M（t，-t²-2t+3）（-3＜x＜0），則N（t，t+3），利用S_△BCM=S_△MNB+S_△NMC可得到△MBC的面積=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0和x=-2時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
∴拋物線解析式為y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2存在．
連結(jié)BC交直線x=-1于點(diǎn)D，則DB=DA，
∴DC+DA=DC+DB=BC，
∴此時(shí)DA+DC最小，△ADC的周長(zhǎng)最小，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²-2x+3=3，則C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
把B（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=x+3=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）；
（3）作MN∥y軸交BC于N，如圖，
設(shè)M（t，-t²-2t+3）（-3＜t＜0），則N（t，t+3），
S_△BCM=S_△MNB+S_△NMC
=$\frac{1}{2}$•3•MN
=$\frac{3}{2}$（-t²-2t+3-t-3）
=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t
=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，△MBC的面積的最大值為$\frac{27}{8}$，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最短路徑問(wèn)題．