Question

12．“位似變化”是一種重要的幾何變化，可以將圖形放大或縮小，且與原圖形相似．你能用位似變化解決下列問題嗎？
如圖Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，有矩形EFGH的一邊EF在邊AC上，點(diǎn)H在斜邊AC上，EF=2，HE=1．
（1）請你用圓規(guī)和無刻度直尺在Rt△ABC內(nèi)作一個最大的矩形且與矩形EFGH位似．（不要求寫作法，但必須保留作圖痕跡）
（2）請證明你作圖方法的正確性．
（3）求最大矩形與矩形EFGH的面積之比．

Answer 1

分析 （1）作出△ABC的中位線MN，MD即可解決問題．
（2）只要證明矩形的兩邊成比例即可．
（3）根據(jù)矩形的面積公式求出比值即可．

解答 解：（1）①作AC的垂直平分線，TK，交AB于M，交AC于N，
②過點(diǎn)M作MD⊥BC垂足為D，
四邊形MNCD就是所求．
（2）∵M(jìn)N⊥AC，MD⊥BC，
∴∠C=∠MNC=∠CDM=90°，
∴四邊形MNCD是矩形，
∵AN=NC，MN∥BC，
∴AM=MB，
∵M(jìn)D∥AC，
∴CD=DB，
∴MD=$\frac{1}{2}$AC=6，MN=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴MD：CD=2，EF：HE=2，
∴$\frac{EF}{MD}$=$\frac{HE}{CD}$，
∴矩形EFGH與矩形MNCD是位似圖形．
（3）$\frac{{S}_{矩形MNCD}}{{S}_{矩形EFGH}}$=$\frac{3×6}{1×2}$=9．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、位似變換、三角形中位線等知識，簡單的關(guān)鍵是利用三角形中位線解決問題，理解位似變換的定義，屬于中考�？碱}型．