Question

9．如圖所示，三角形AEF，三角形BDF，三角形BCD都是正三角形，其中AE：BD=1：3，三角形AEF的面積是1，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 設三角形AEF的邊長為1份，根據其中兩個等邊三角形的邊長的比確定其他各邊的份數，從而表示出面積，然后利用四邊形的蝴蝶定理確定各個三角形的面積，從而確定梯形ABCF的面積，進而可以確定陰影部分的面積．

解答 解：（1）設△AEF的邊長為1份，
∵AE：BD=1：3，
∴△BDF和△BCD的邊長都是3份．
（2）∵BF=3EF，∴△ABF的面積是△AEF的3倍，△ABF的面積等于1×3=3．
∵DF=3AF，∴△BDF的面積是△ABF的3倍，△BDF的面積等于3×3=9，
∴△BCD的面積也等于9．
（3）連接FC，整個圖形關于FC對稱，FC是對稱軸．FC的左右兩部分是相等的．
在梯形ABCF中，△ABF的面積是3，△BCF的面積為（9+9）÷2=9．
梯形ABCF的面積是3+9=12，
而這個梯形的上底是1份，下底是3份．
根據四邊形的蝴蝶定理：
△AIF：△BCI：△ABI：△FIC=1²：3²：3：3=1：9：3：3，
∵梯形ABCF的面積是12，梯形ABCF又被分成了1+9+3+3=16份，而陰影部分只占其中的1+9=10份．
∴梯形ABCF中的陰影部分的面積是12×$\frac{1+9}{1+9+3+3}$=$\frac{15}{2}$，
∴整個圖形中的陰影部分的面積是$\frac{15}{2}$×2=15．

點評 本題考查了面積及面積變換的問題，解題的關鍵是了解四邊形蝴蝶定理的相關內容：相似圖形，面積比等于對應邊長比的平方，難度較大．