Question

1．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且DE=EC

（1）特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你補(bǔ)充完成解答過程）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
若△ABC的邊長為10，AE=2，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=30°，再證出∠BED=∠D，得出BE=DB，即可得出AE=DB；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∠DBE=120°，再證出△AEF是等邊三角形，得出AE=EF，BE=CF，證出∠FEC=∠D，證明△EFC≌△DBE，得出EF=DB，即可得出AE=DB．
（3）由（2）可知AE=DB=2，因?yàn)锽C=10，即可求得CD=12或8．

解答 解：（1）AE=DB；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°=∠D，
∴BE=DB，
∴AE=DB；
故答案為：=；
（2）AE=DB，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，如圖2所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠DBE=120°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠DCE，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等邊三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，
∴BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠FEC=∠D，
在△EFC和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠DBE=120°}\\{∠FEC=∠D}\\{CF=BD}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∴AE=DB；
故答案為：=．
（3）∵△ABC的邊長為10，AE=2，
∴BC=10，
由（2）可知AE=DB，
∴DB=2，
∴當(dāng)E在線段AB上時，CD=DB+BC=2+10=12；
當(dāng)E在射線BA上時，CD=BC-DB=10-2=8．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明等邊三角形和全等三角形才能得出結(jié)論．